6174は魔法の数!?（実践編）

　過去記事［６１７４は魔法の数!?］で、「6174」という数は不思議な数であることを紹介しました。

　C++を使って、4桁とも同じ数字でない場合は、結果がすべて「6174」になることを確認してみましたので、プログラムを紹介します。
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// カプレカー操作
#include <iostream>
using namespace std;

const int Kn = 4;   // 桁数
const int Nm = 10000;

// 4桁の数を、4個の数字に分解する関数
void mkary(int x, int* p){
    for(int j = 0; j < Kn; j++){
        *p++ = x % 10;
        x /= 10;
    }
}

// 数字を小さい順にならべかえる関数
void sort_arry(int* p, int nm){
    int i, j, tmp;

    for(i = 0; i < nm - 1; i++){
        for(j = i + 1; j < nm; j++){
            if(p[i] > p[j]){
                tmp = p[i];
                p[i] = p[j];
                p[j] = tmp;
            }
        }
    }
}

int main(){
    int a[Kn], b[Nm];
    int i, j, x, cnt, max, min, sbn;
   
    for(i = 0; i < Nm; i++){
        cnt = 0;
        x = i;
        while(1){
            mkary(x, a);
            sort_arry(a, Kn);
            max = a[3] * 1000 + a[2] * 100 + a[1] * 10 + a[0];
            min = a[0] * 1000 + a[1] * 100 + a[2] * 10 + a[3];
            sbn = max - min;
            printf("%d> %04d : %04d - %04d = %04d\n", ++cnt, x, max, min, sbn);
            if(x == sbn) break;
            x = sbn;
        }
        b[i] = sbn;
    }
    for(i = 0; i < Nm; i++){
        if(b[i] != 6174) printf("%04d: %04d\n", i, b[i]);
    }
}
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　「0000」から「9999」の10000個の数のうち、結果が「6174」にならないのは、「0000」、「1111」、「2222」、「3333」、「4444」、「5555」、「6666」、「7777」、「8888」、「9999」、全部で10個しかありません。
　4桁の数で、各桁の数字を組み合わせて最大の数と最小の数を作り、その差を計算する操作（カプレカー操作と呼ぶそうです＾＾）を繰り返すと、4桁とも同じ数字の場合以外は、すべて結果が「6174」になるということが確認できました。

　どうしてこうなるのか？

　これを証明した資料はあるのでしょうか。

（by　心如）
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【参考記事】
「カプレカー操作について」

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　ちなみに、5桁の数字にカプレカー操作を繰り返すと、下記のとおり複数の数が循環します。

　6桁の数も、下記のとおり複数の数で循環します。

　4桁の場合のように、ひとつの数の「6174」で終了というわけではないので、さほど面白いとは言えません。

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