『コレクション完成』（数学パズル）

【問い】

　キャラメルのおまけについているフィギュアを集めています。
　キャラメルは一箱100円です。
　全部で12種類のフィギュアがあるのですが、全種類を集めたいと企んでいます。
　ただし、どんなフィギュアが入っているかは、開けてみないとわからないため、全種類を集めるには相当なダブりを覚悟しないといけません。
　どのフィギュアも出現率（おまけに入っている確率）は同じとした場合、全種類のフィギュアを揃えてコレクションを完成するまでに、いったい何円くらい使うはめになるでしょうか？

　　　（１） 1200円、（２） 2400円、（３） 3724円、（４） 6281円

〔ヒント〕
　あることが起こる確率が1/Pであれば、それが起こるまでに平均P回必要です。フィギュアがn種類揃っているときに、次に新しいフィギュアを手に入れるためには、平均何個のキャラメルを買わないといけないか考えてみましょう。

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【答え】

　（３） 3724円（平均すれば、37～38個買うことになります）
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　初めてキャラメルを買う場合、新しい種類のフィギュアを手に入れる確率は12/12=1なので、1個買えば新しい種類のフィギュアが入手できます。
　次に、2種類目のフィギュアが手に入る確率は、11/12なので、必要な平均購入数は12/11個となります。同様に、3種類目を手に入れる場合に必要な平均購入数は、12/10個となります。
　もし、11種類のフィギュアを持っている場合に、12種類目のフィギュアを手に入れるのに必要な平均購入数量は12/1=12個となります。これから、コレクションを完成させるのに必要な平均購入数の合計を計算すると、
　12/12+12/11+12/10+12/9+12/8+12/7+12/6+12/5+12/4+12/3+12/2+12/1
＝86021/2310
≒37.24[個]
となります。よって、一箱100円のキャラメルを平均37.24個買う必要があるので、コレクションを完成するのには、3724円程度の出費を覚悟しないといけない計算なのです。

　これは、あくまで平均の必要購入数ですから、実際には15個目で12種類全部が揃う場合もありますし、反対に100個買っても12種類全部を揃えられない場合があるのかも知れませんね ＾＾；

（by　心如）

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